重回帰分析 | Fuko Nakai

read.csv関数を使って，以下のURLのデータを読み込み，オブジェクト「S16」に代入（付値）するプログラムを書け．
- https://fnakai.web.nitech.ac.jp/data/14_LP/16Students.csv
sum関数を用いて$\sum x, \sum y, \sum z, \sum x^2, \sum z^2,\sum xy,\sum xz,\sum zy$を求めよ．
重回帰パラメータを導出する正規方程式に，上記の値を当てはめた連立方程式を書け（解かなくて良い）．
lm関数を使ってパラメータ$a,b,c$を求め，回帰式を書け．

以下を実行してみてほしい．sum関数は，sum( )の括弧の中にベクトルを入れると，その成分の和を返すことがわかる．

a <- c(1,1,1,1,1,1)
sum(a)

以下を実行してみてほしい．「*」はかけ算の演算子である．また，S16$Weight[i]は，Weightのi番目の成分を意味する．ベクトル同士に対して「*」によるかけ算をおこなうことで，どのような演算結果が返されるか？

S16$Weight * S16$Height
S16$Weight[1] * S16$Height[1]

lm関数は，回帰モデルを求める関数である．以下のformulaでは回帰モデルの形を指定する．formulaにはいくつかの種類があるので，以下のWebサイトを参考にしてほしい．

formulaを「y ~ x」と指定することで，モデル式 $y = a + bx + \epsilon$（ $\epsilon$は誤差項）の回帰モデルを求めることができる．被説明変数 y と説明変数 x は，ベクトルで指定する．

lm(formula)

たとえば，以下は体重を被説明変数，身長を説明変数とした場合である．

lm(S16$Weight~S16$Height)

formulaを「y ~ x+z」と指定することで，モデル式 $y = a + bx + cz + \epsilon$の回帰モデルを求めることができる．

◆レポート提出課題（全10問）

1．read.csv関数を使って，以下のURLのデータを読み込み，オブジェクト「S16」に代入（付値）するプログラムを示しなさい．

2．「*」はかけ算の演算子である．ベクトル同士に対して「*」によるかけ算をおこなうことで，どのような演算結果が返されるか？以下を実行することにより，考察せよ．

S16$Weight * S16$Height
S16$Weight[1] * S16$Height[1]
S16$Weight[2] * S16$Height[2]

3．sum関数を用いて$\sum x, \sum y, \sum z, \sum x^2, \sum z^2,\sum xy,\sum xz,\sum zy$を求めるプログラムを示しなさい．

4．重回帰パラメータを導出する正規方程式に，上記の値を当てはめた連立方程式を書け（解かなくて良い）．

5．lm関数を用いて，被説明変数に「身長」を，説明変数に「体重」と「胸囲」を置いた重回帰モデルを作成せよ．また，パラメータa,b,cを明示したうえで，重回帰式を示せ．

6．lm関数の結果をオブジェクト「result」に代入（付値）するプログラムを示しなさい．

7．summary(result)を実行せよ．また，以下の表を参考に，結果について以下の点を考察せよ．

モデル式とデータの入力情報について日本語で説明せよ．
残差とは，回帰式と実データによって求められる偏差$y_i – \overline{y}_{xz}$のことである．その要約統計量を示しているのが，Residualsである．これより，残差についてわかることや，気が付いたことを説明せよ．
重決定係数の値を求めよ．また，sqrt関数を用いることにより，重相関係数を求めよ（sqrt関数については「?sqrt」と入力して，ヘルプを見ること）．

R上の表記	説明
Call:	モデル式とデータの入力情報．
Residuals:	残差の四分位数に関する情報．
Coefficients:	Estimate: 回帰係数の推計値$\overline{y}_{xz}$ Std. Error:回帰係数の標準誤差 t value:回帰係数t値．推定値と標準誤差の比． Pr(>\|t\|):回帰係数のp値．
Residual standard error:	残差の標準誤差．誤差項の標準偏差の推定値．
Multiple R-squared:	決定係数（※通常の／演習でもとめている決定係数のこと）
Adjusted R-squared:	自由度調整済み決定係数
F-statistic:	F 値．回帰式が意味があるかどうかを検定する統計量。
p-value:	（F 検定に基づく）p 値．回帰式が意味が無い（全ての説明変数の係数がゼロである）確率

summary(result)の結果の読み取り方

8．lm関数を用いて，被説明変数に「身長」を，説明変数に「体重」のみを置いた単回帰モデルを作成せよ．この結果は「result2」に代入せよ．また，パラメータa,bを明示したうえで，単回帰式を示せ．

9．8の単回帰モデルについて，summary(result2)を実行することにより，重回帰分析の時と同様に結果を考察せよ．

10．単回帰モデルの結果と重回帰モデルのsummary関数の実行結果をもとに結果の比較を行い，どちらのほうが「身長」をよく説明するモデルか，考察せよ．